Question

6．已知$f（x）=1+\frac{a}{{3}^{x}+1}$（a为常数）．
（Ⅰ）若f（x）为奇函数，求实数a的值；    
（Ⅱ）在Ⅰ的前提下，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可看出该函数定义域为R，从而由f（x）为奇函数知f（0）=0，从而求出a=-2；
（Ⅱ）先写出f（x）=$1-\frac{2}{{3}^{x}+1}$，根据3^x＞0便可求出$\frac{1}{{3}^{x}+1}$的范围，进一步可求出$1-\frac{2}{{3}^{x}+1}$的范围，即得出f（x）的值域．

解答 解：（I）f（x）的定义域为R，f（x）为奇函数；
∴$f（0）=1+\frac{a}{1+1}=0$；
∴a=-2；
（Ⅱ）$f（x）=1-\frac{2}{{3}^{x}+1}$；
3^x＞0；
∴$0＜\frac{1}{{3}^{x}+1}＜1$；
∴-1＜f（x）＜1；
∴f（x）的值域为（-1，1）．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时有f（0）=0，指数函数的值域，以及根据不等式的性质求函数值域的方法．