罗源滨海新城建一座桥.两端的桥墩已建好.这两墩相距m米.余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测.一个桥墩的工程费用为32万元.距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为x万元．假设桥墩等距离分布.所有桥墩都视为点.且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式,(2)当m=96米时.需新建多少个桥� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2+$\sqrt{x}$）x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
（1）试写出y关于x的函数关系式；
（2）当m=96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？

分析（1）根据题意设出桥墩和桥面工程量，然后根据题意建立工程总费用与工程量的函数关系．
（2）当m=96米时，代入已知函数表达式，求出此时的函数表达式，并求导，根据导数与函数单调性的关系求出最值以及此时x的值．

解答解：（1）设需新建n个桥墩，则（n+1）x=m，即n=$\frac{m}{x}$-1，…（2分）
所以y=f（x）=32n+（n+1）（2+$\sqrt{x}$）x=32（$\frac{m}{x}$-1）+（2+$\sqrt{x}$）m
=m（$\frac{32}{x}$+$\sqrt{x}$）+2m-32，（ 0＜x＜m）…（6分）
（2）当m=96时，f（x）=96（$\frac{32}{x}$+$\sqrt{x}$）+160
则f′（x）=$96（\frac{1}{{2\sqrt{x}}}-\frac{32}{x^2}）=\frac{48}{x^2}（{x^{\frac{3}{2}}}-64）$．…（8分）
令f′（x）=0，得${x^{\frac{3}{2}}}$=64，所以x=16
当0＜x＜16时，f′（x）＜0，f（x）在区间（0，16）内为减函数；
当16＜x＜96，f′（x）＞0，f（x）在区间（16，96）内为增函数．
所以f（x）在x=16处取得最小值．此时n=$\frac{96}{16}$-1=5…（10分）
故需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y最小．…（12分）

点评本题考查函数模型的选择与应用，通过对实际问题的分析，构造数学模型从而解决问题．本题需要构建一个工程总费用与工程量的函数关系．并注明取值范围．需要对知识熟练的掌握并应用，属于中档题．