Question

设满足以下两个条件得有穷数列为阶“期待数列”：
①，②.
（1）若等比数列为阶“期待数列”，求公比；
（2）若一个等差数列既为阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记阶“期待数列”的前项和为.
（）求证：；
（）若存在，使，试问数列是否为阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）（）证明见解析；（）不能，理由见解析.

试题分析：
（1）由阶“期待数列”定义，当，结合已知条件①求得等比数列的公比，若，由①得, ，得，不可能，所以 ；
（2）设出等差数列的公差，结合①②求出公差，再由前项和为求出首项，则等差数列的通项公式可求；
（3）（）由阶“期待数列”前项中所有的和为0，所有项的绝对值之和为1，求得所有非负项的和为，所有负项的和为，从而得到答案；
（）借助于（）中结论知，数列的前项和为，且满足，再由，得到，从而说明与不能同时成立.
(1) 若，则由①
由，所以，得，
由②得或,满足题意.
若，由①得, ，得，不可能.
综上所述.                
(2)设等差数列的公差为.
因为，所以.
所以.
因为，所以由，得. 
由题中的①、②得
,   ，
两式相减得, 即. 又,得.
所以.
(3) 记中非负项和为,负项和为.
则, 得.
（） 因为，所以.    
（） 若存在，使，由前面的证明过程知：
，
且.
记数列的前项和为.若为阶“期待数列”，
则由()知, . 所以
因为， 所以.
所以,.
又, 则.
所以.
所以与不能同时成立.
所以对于有穷数列,若存在，使，
则数列不能为阶“期待数列”.