题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的两个焦点分别是F₁、F₂，△MF₁F₂的重心G恰为椭圆上的点，则点M的轨迹方程为________．

$\text{[math]}$ （x≠±9）
分析：设重心（x₁，y₁），M（x₀，y₀）而F₁（2，0），F₂（-2，0）由重心坐标公式得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，因为重心在椭圆上，所以 $\text{[math]}$ ，由此可知M的轨迹方程．
解答：设重心（x₁，y₁），M（x₀，y₀）而F₁（2，0），F₂（-2，0）由重心坐标公式得
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∵重心在椭圆上．
∴ $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
所以M的轨迹方程为：
$\text{[math]}$ （x≠±9）．
答案： $\text{[math]}$ （x≠±9）．
点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

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已知椭圆的两个焦点分别是F1(0，-2

)，离心率e=

．
（1）求椭圆的方程；
（2）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN中点的横坐标为-

，求直线l的倾斜角的范围．

求下列各曲线的标准方程．
（1）已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0），（2，0），并且经过点（

）．
（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．

给定椭圆：，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆上一动点满足．

（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程；

（Ⅱ）过点P作直线,使得直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为．求出的值．

（（本小题满分14分）

给定椭圆：，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆上一动点满足．

（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程

（Ⅱ）试探究y轴上是否存在点(0, )，使得过点作直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。

（本小题满分14分）

给定椭圆：，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆上一动点满足．

(Ⅰ) 求椭圆及其“伴随圆”的方程；

（Ⅱ）过点P作直线,使得直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为．求出的值．