Question

已知两点A(，0)、B(-，0)，动点P在y轴上的射影为Q，．

(Ⅰ)求动点P的轨迹E的方程；

(Ⅱ)设直线l过点A，斜率为k．当0＜k＜1时，曲线E的上支上有且仅有一点C到直线l的距离为，试求k的值及此时点C的坐标．

Answer 1

解：(Ⅰ)设动点P的坐标为(x，y)，则点Q的坐标为(0，y)，

=(-x,0), =(-x,-y),=(--x,-y),

·=x²-2+y²

由题意得·=2  得x²-2+y²=2x²．

∴所求动点P的轨迹方程为：y²-x²=2

(Ⅱ)设直线l：y=k(x-)(0＜k＜1)

由题意点C在与直线l平行，且与l之间的距离为的直线上．

设直线l′：y=kx+b，则得，

即b²+2kb=2．①

把y=kx+b，代入y²-x²=2，且整理得

(k²-1)x²+2kbx+(b²-2)=0，

则由题意知：△=4k²b²-4(k²-1)(b²-2)=0，

即b²+2k²=2．   ②

由①-②得：2k(b-k)=0，k=b．

由方程组：.

此时，由方程组,

得点C的坐标为(2，).