Question

【题目】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设向量 =（a，c）， =（cosC，cosA）．
（1）若 ∥ ，a= c，求角A；
（2）若 =3bsinB，cosA= ，求cosC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ∥ ，∴acosA=ccosC，

∴sinAcosA=sinCcosC，

∴sin2A=sin2C，

∴2A=2C或2A+2C=π，

∴A=C（舍去）或A+C= ，

∴B= ，

Rt△ABC中，tanA= ，A= ；

（2）解：∵ =3bsinB，

∴acosC+ccosA=3bsinB，

由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=3sin2B，

∴sin（A+C）=3sin2B，

∴sinB= ，

∵cosA= ，

∴sinA= ，∵sinA＞sinB，∴a＞b，

∴cosB= ，

∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣ × + = ．

【解析】（1）若 ∥ ，可得acosA=ccosC，可求B，利用a= c，求角A；（2）若 =3bsinB，由正弦定理可得sinB= ，由cosA= ，即可求cosC的值．