Question

已知a,b,c为互不相等的正数.试比较ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)与6abc的大小.

Answer 1

思路分析：要比较两式大小，可作差后与0比较大小，另考虑到本题两式均大于零，故也可考虑作商后与1比较大小.

解法一：ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)-6abc

=a²b+ab²+b²c+bc²+a²c+ac²-6abc

=(a²b+bc²-2abc)+(ab²+ac²-2abc)+(b²c+a²c-2abc)

=b(a²+c²-2ac)+a(b²+c²-2bc)+c(b²+a²-2ab)

=b(a-c)²+a(b-c)²+c(b-a)².

∵a,b,c为互不相等的正数，∴上式＞0.

∴ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)＞6abc.

解法二：.

=

∵a²+c²-2ac=(a-c)²＞0(a≠c),

∴(ac＞0).

同理,可得.

∴上式＞16×(2+2+2)=1.

∵6abc＞0,

∴ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)＞6abc.