题目内容

（1）已知a，b，c∈R，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥
1
3
；
（2）a，b，c为互不相等的正数，且abc=1，求证：
1
a
+
1
b
+
1
c
＞
a
+
b
+
c
．
分析：（1）利用条件a+b+c=1，两边平方，利用基本不等式，即可证得结论．
（2）根据条件可化为
1
a
+
1
b
+
1
c
=bc+ac+ab=
bc+ac
2
+
ac+ab
2
+
ab+bc
2
或者
a
+
b
+
c
=
1
bc
+
1
ac
+
1
ab
，应用基本不等式即可证得结论．
解答：证明　（1）∵a+b+c=1，∴（a+b+c）2=1，
由a2+b2≥2ab得
a2+b2+c2=
1
3
（a2+b2+b2+c2+c2+a2+a2+b2+c2）
≥
1
3
（a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac）
=
1
3
（a+b+c）2=
1
3
．
（2）法一　由左式推证右式
∵abc=1，且a，b，c为互不相等的正数，
∴
1
a
+
1
b
+
1
c
=bc+ac+ab=
bc+ac
2
+
ac+ab
2
+
ab+bc
2

＞
bc•ac
+
ac•ab
+
ab•bc
（基本不等式）
=
c
+
a
+
b
．
∴
1
a
+
1
b
+
1
c
＞
a
+
b
+
c
．
法二　由右式推证左式
∵a，b，c为互不相等的正数，且abc=1，
∴
a
+
b
+
c
=
1
bc
+
1
ac
+
1
ab

＜
1
b
+
1
c
2
+
1
a
+
1
c
2
+
1
a
+
1
b
2
（基本不等式）=
1
a
+
1
b
+
1
c
．
点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（1）已知a，b，c为实数，证明a，b，c均为正数的充要条件是
a+b+c＞0
ab+bc+ca＞0
abc＞0
；
（2）已知方程x3+px2+qx+r=0的三根α，β，γ都是实数，证明α，β，γ是一个三角形的三边的充要条件是
p＜0，q＞0，r＜0
p3＞4pq-8r
．
（1）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，求证：
b2-ac
a
＜
3
；
（2）若不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
＞
a
24
对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并用数学归纳法证明此时的不等式．
（1）已知a，b，c均为实数，求证：a2+b2+c2≥
1
3
(a+b+c)2．
（2）若a，b，c均为实数，且a=x2-2y+
1
3
，b=y2-2z+3，c=z2-2x+
1
6
．求证：a，b，c中至少有一个大于0．
（1）已知a，b，c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2＞ab+bc+ca；
（2）设a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=1，求证(
1
a
-1)(
1
b
-1)(
1
c
-1)≥8．

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