Question

3．若f（x）是定义在R上的单调递减函数，且$\frac{f（x）}{f′（x）}$+x＜1，则下列结论正确的是（　　）

• A． f（x）＜0
• B． 当且仅当x＜1时，f（x）＜0
• C． f（x）＞0
• D． 当且仅当x≥1时，f（x）＞0

Answer 1

分析 由题意可先根据f（x）是定义在R上的单调递减函数得得出其导数值恒为负，再将不等式$\frac{f（x）}{f′（x）}$+x＜1两边同乘以f′（x）得，f（x）+xf′（x）＞f′（x），将其整理为f（x）+xf′（x）-f′（x）＞0，观察知，g（x）=xf（x）-f（x）导数即f（x）+xf′（x）-f′（x），从而得出g（x）的单调性，判断出它的函数值的符号，从而得出f（x）的符号，即可得出正确选项．

解答 解：由题意，f（x）是定义在R上的单调递减函数，可得f′（x）＜0
将不等式$\frac{f（x）}{f′（x）}$+x＜1两边同乘以f′（x）得，f（x）+xf′（x）＞f′（x）
即f（x）+xf′（x）-f′（x）＞0
可令g（x）=xf（x）-f（x）=（x-1）f（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）-f′（x）＞0
∴g（x）是一个增函数，又g（1）=1×f（1）-f（1）=0，
∴当x＞1时，g（x）＞0，x-1＞0
∴x＞1时，f（x）＞0，又f（x）是定义在R上的单调递减函数，
∴f（x）是定义在R上恒为正，即f（x）＞0
故选C．

点评 本题考查导数的综合运用，导数与单调性的关系，导数的运算，以及数的乘积的符号的判断规则，本题要构造一个新函数，以新函数的性质判定f（x）的性质，本题综合性较强，构造新函数是个难点．