Question

【题目】将平面上每个点染为种颜色之一，同时满足：

（1）每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上；

（2）至少有一条直线上所有的点恰为两种颜色．

求的最小值，使得存在互不同色的四个点共圆．

Answer 1

【答案】5

【解析】

由已知．

若，在平面上取一定圆及上面三点、、，将弧（含点不含）、弧（含点不含）、弧（含点不含）分别染为1、2、3色，平面上其他点染为4色，则满足题意且不存在四个互不同色的点共圆．

所以，．

当时，假设不存在四个互不同色的点共圆．由条件（2）知，存在直线上恰有两种颜色的点（设上仅有颜色1、2的点），再由条件（1）知，存在颜色分别为3、4、5的点、、不共线，设过、、的圆为（如图）．

若与有公共点，则存在四个互不同色的点共圆，矛盾．

若与相离，则过点作的垂线与交于点．

设的颜色为1，垂线与交于点、，如图3．

设的颜色为3．考虑上颜色为2的点，与交于点．

因为，所以，、、、四点共圆．则只能为3色．

又、必有一点不同于（设为），与交于点．

因为，所以，、、、四点共圆．则只能为1色．

故．

从而，、、、四点共圆，且互不同色，矛盾．

所以，当时，存在四个互不同色的点共圆．

因此，的最小值是5．