Question

（2012•威海二模）如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E，F分别为AD，BP的中点，AD=3，AP=5，PC=2

7

．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PDC；
（Ⅱ）若∠CDP=90°，求证BE⊥DP；
（Ⅲ）若∠CDP=120°，求该多面体的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO，DO，可证FO∥ED，且FO=ED，所以四边形EFOD是平行四边形，从而可得EF∥DO，利用线面平行的判定，可得EF∥平面PDC；
（Ⅱ）先证明PD⊥平面ABCD，再证明BE⊥DP；
（Ⅲ）连接AC，由ABCD为平行四边形可知△ABC与△ADC面积相等，所以三棱锥P-ADC与三棱锥P-ABC体积相等，即五面体的体积为三棱锥P-ADC体积的二倍．

解答：（Ⅰ）证明：取PC的中点为O，连FO，DO，

∵F，O分别为BP，PC的中点，∴FO∥BC，且FO=

1

2

BC，
又ABCD为平行四边形，ED∥BC，且ED=

1

2

BC，
∴FO∥ED，且FO=ED
∴四边形EFOD是平行四边形---------------------------------------------（2分）
即EF∥DO   
又EF?平面PDC，
∴EF∥平面PDC．---------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）证明：若∠CDP=90°，则PD⊥DC，
又AD⊥平面PDC，DP?平面PDC，∴AD⊥DP，
∵AD∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD，---------------------------------（6分）
∵BE?平面ABCD，
∴BE⊥DP--------------------------------（8分）
（Ⅲ）解：连接AC，由ABCD为平行四边形可知△ABC与△ADC面积相等，
所以三棱锥P-ADC与三棱锥P-ABC体积相等，即五面体的体积为三棱锥P-ADC体积的二倍．
∵AD⊥平面PDC，DP?平面PDC，∴AD⊥DP，
由AD=3，AP=5，可得DP=4
又∠CDP=120°，PC=2

7

，由余弦定理并整理得DC²+4DC-12=0，解得DC=2--------------------------（10分）
∴三棱锥P-ADC的体积V=

1

3

×

1

2

×2×4×sin120°×3=2

3

∴该五面体的体积为4

3

-----------------------------（12分）

点评：本题考查线面平行，线线垂直，考查多面体的体积，解题的关键是掌握线面平行，线面垂直的判定方法，正确运用三棱锥的体积公式．