Question

1．已知：a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，求证，$\sqrt{ab}$+2$\sqrt{bc}$≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根据柯西不等式和基本不等式即可证明．

解答 证明：a，b，c∈R⁺，a+b+c=1，
∴（$\sqrt{ab}$+2$\sqrt{bc}$）²≤（1²+2²）（ab+bc）=5b（a+c）≤5×（$\frac{a+b+c}{2}$）²=$\frac{5}{4}$，
∴$\sqrt{ab}$+2$\sqrt{bc}$≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了柯西不等式和基本不等式，属于基础题．