Question

【题目】已知函数， 为自然对数的底数.

（1）若当时， 恒成立，求的取值范围；

（2）设，若对恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2) 的最大值为，此时，

【解析】试题分析：（1）因为，所以恒成立，由于，所以设，则恒成立，根据一次函数单调性即得的取值范围；（2）令，则原问题转化为对恒成立.根据二次求导可得， ，即得，再利用导数求函数最大值，即得的最大值.

试题解析：（1）由题意得，且，注意到

设，则，则为增函数，且.

讨论如下：

①若， ，得在上单调递增，有，得在上单调递增，有，合题意；

②若，令，得，则当时， ，得在上单调递减，有，得在上单调递减，有，舍去.

综上， 的取值范围.

（2）当时， ，即.

令，则原问题转化为对恒成立.

令， .

若，则，得单调递增，当时， ， 不可能恒成立，舍去；

若，则；

若，则易知在处取得最小值，所以， ，将看做新的自变量，即求函数的最大值，

则，令，得.

所以在上递增，在上递减，所以，

即的最大值为，此时， .