Question

已知关于x的方程：x²﹣（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有实数根b．
（1）求实数a，b的值．
（2）若复数z满足|﹣a﹣bi|﹣2|z|=0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值．

Answer 1

(1);(2) 当z=1﹣i时,|z|有最小值且|z|_min=．

试题分析：(1)将实数根代入后，复数为0表示为实部为0，虚部为0，解出与;
(2)先把代入方程，同时设复数，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示圆，
再数形结合，表示为圆上点到原点的距离，求出，得到．
试题解析：解：（1）∵b是方程x²﹣（6+i）x+9+ai=0（a∈R）的实根，
∴（b²﹣6b+9）+（a﹣b）i=0，
∴解之得a=b=3．
（2）设z=x+yi（x，y∈R），由|﹣3﹣3i|=2|z|，
得（x﹣3）²+（y+3）²=4（x²+y²），
即（x+1）²+（y﹣1）²=8，
∴z点的轨迹是以O₁（﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，如图所示，
如图，

当z点在OO₁的连线上时，|z|有最大值或最小值，
∵|OO₁|=半径r=2，
∴当z=1﹣i时.|z|有最小值且|z|_min=．