Question

【题目】综合题。
（1）求函数f（x）=sin2x+cosx+1，x∈[﹣ ， ]的值域．
（2）求函数 的定义域和单调区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=1﹣cos2x+cosx+1

=﹣cos2x+cosx+2，

令t=cosx，则t∈[0，1]，

则 y=﹣t2+t+2，t∈[0，1]；

所以当t=0或1时，ymin=2；

当 时， ；

所以f（x）的值域是

（2）解：∵函数 ，

令 ，

解得 ；

所以 的定义域为 ；

令 ，

由y=tant在 ，k∈Z内单调递增，

令﹣ +kπ＜ + ＜ +kπ，k∈Z，

解得﹣ +2kπ＜x＜ +2kπ，k∈Z，

所以 在（﹣ +2kπ， +2kπ），k∈Z上单调递增

【解析】（1）化简f（x）为cosx的二次函数，用换元法令t=cosx，从而求出f（x）的值域；（2）根据正切函数的定义域和单调性，即可求出函数 的定义域和单调增区间．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦函数的单调性的相关知识，掌握正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数，以及对三角函数的最值的理解，了解函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．