Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，设点为椭圆上任意一点，直线和椭圆交于两点，且直线与轴分别交于两点，求证： .

Answer 1

【答案】(1) ;(2)详见解析.

【解析】试题分析：（1）由，又，联立求出 、 、的值，即可得出椭圆的方程；（2）设，则，求出直线的方程与直线方程，可得的坐标，利用斜率公式只要证明即可得出结果.

试题解析：∵，∴

∴

∴椭圆方程为

（2）

设，则，

直线方程为

令,则

∴

同理

∵和均为锐角，

∴

∴

∴与互余，

∴

【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.