Question

【题目】设函数在内有极值．

（1）求实数a的取值范围；

（2）若x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)．求证：f(x2)－f(x1)>e＋2－.注：e是自然对数的底数．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】分析：（1）函数的定义域为，求导数，利用函数在内有极值，可得在内有解，令，根据，可设，则，从而可求实数的取值范围．

（2）求导函数确定函数的单调性，进而由，可得，由，可得，所以，又，即，可得在上单调递增，从问题得证．

详解：(1)易知函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，

f′(x)＝－＝＝.

由函数f(x)在内有极值，可知方程f′(x)＝0在内有解，令g(x)＝x2－(a＋2)x＋1＝(x－α)(x－β)．

不妨设0<α<，则β>e，又g(0)＝1>0，

所以g＝－＋1<0，解得a>e＋－2.

(2)证明　由(1)知f′(x)>00<x<α或x>β，

f′(x)<0α<x<1或1<x<β，

所以函数f(x)在(0，α)，(β，＋∞)上单调递增，在(α，1)，(1，β)上单调递减．

由x1∈(0,1)得f(x1)≤f(α)＝ln α＋，

由x2∈(1，＋∞)得f(x2)≥f(β)＝ln β＋，

所以f(x2)－f(x1)≥f(β)－f(α)．

由(1)易知α·β＝1，α＋β＝a＋2，

所以f(β)－f(α)＝ln β－ln＋a＝2ln β＋a·＝2ln β＋a·＝2lnβ＋β－.

记h(β)＝2ln β＋β－ (β>e)，

则h′(β)＝＋1＋＝2>0，

所以函数h(β)在(e，＋∞)上单调递增，

所以f(x2)－f(x1)≥h(β)>h(e)＝2＋e－.