Question

【题目】

如图所示的空间几何体，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为.且点E在平面ABC上的射影落在的平分线上．

（1）求证：DE//平面ABC；

（2）求二面角E—BC—A的余弦；

（3）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）证明线面平行，需要证明直线平行面内的一条直线即可．
（2）利用三垂线定理作出二面角的平面角即可求解．
（3）求多面体ABCDE的体积，转化两个三棱锥的体积之和，分别求解

(1)由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，

取AC中点O，连接BO，DO，

则BO⊥AC，DO⊥AC∵平面ACD⊥平面ABC

∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，

那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，

∴∠EBF=60,易求得EF=DO=

所以四边形DEFO是平行四边形,DE∥OF;∵DE平面ABC,OF平面ABC,∴DE∥平面ABC

(2)

作FG⊥BC,垂足为G,连接EG;

∵EF⊥平面ABC，根据三垂线定理可知，EG⊥BC，

∴∠EGF就是二面角EBCA的平面角，

，

即二面角EBCA的余弦值为.

(3)∵平面ACD⊥平面ABC，OB⊥AC∴OB⊥平面ACD；

又∵DE∥OB∴DE⊥平面DAC，

∴三棱锥EDAC的体积

又三棱锥EABC的体积，

∴多面体DEABC的体积为.