Question

（本小题共14分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）点在线段上，，试确定的值，使平面；

（Ⅲ）若平面，平面平面，求二面角的大小．

 

Answer 1

【答案】

证明：（Ⅰ）连接 ．

因为四边形为菱形，，

所以△为正三角形．又为中点，

所以．

因为,为的中点，

所以．

又，

所以平面．                            ………………4分

（Ⅱ）当时，∥平面．

下面证明：

连接交于，连接．

因为∥，

所以．

因为∥平面，平面，平面平面，

所以∥.

所以．

所以，即．

因为，

所以．

所以，

所以∥.

又平面，平面，

所以∥平面．                                 …………9分

（Ⅲ）因为，

又平面平面，交线为，

所以平面．

以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直

角坐标系．

由===2，

则有，，．

设平面的法向量为=，

由，

且，，

可得

令得．

所以=为平面的一个法向量．

取平面的法向量=，

则，

故二面角的大小为60°．                    …………14分

【解析】本题考查线面垂直和二面角、探索性问题等综合问题。考查学生的空间想象能力。线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.

线面垂直的证明思考途径：线线垂直线面垂直面面垂直.本题第一问利用方法二进行证明；探求某些点的具体位置，使得线面满足垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.本题第二问主要采用假设存在点，然后确定线面平行的性质进行求解. 本题第三问利用向量法求解二面角.