Question

（本小题共14分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，⊥底面.

(1)证明：平面平面；

(2)若二面角为，求与平面所成角的正弦值。

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）

【解析】本试题主要是考查了面面垂直的证明，以及二面角的求解的综合运用。

（1）利用线面垂直的的判定定理和面面垂直的判定定理得到郑敏。

（2）合理的建立空间直角坐标系，可以表示出平面的法向量和法向量的夹角，然后借助于向量的数量积公式的得到二面角的平面角的求解。

解：（1）∵       ∴

       又∵⊥底面       ∴

      又∵           ∴平面    而平面

   ∴平面平面                …………6分

（2）由（1）所证，平面  

所以∠即为二面角P-BC-D的平面角，即∠   ………………7分

而，所以

分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系。……………8分

 则，，，

所以，，，……………10分

设平面的法向量为，则   

即  可解得            ……………12分

∴与平面所成角的正弦值为  ………14分

(另外做出与平面所成角或利用等体积求出也可)