题目内容

设函数f(x)=2
3
sinxcosx+2cos2x-1(x∈R）的最大值为M，最小正周期为T
（1）求M，T及函数的单调增区间；
（2）10个互不相等的正数xi满足f（xi）=M，且xi＜10π（i=1，2，…，10）求x1+x2+…+x10的值．
分析：先利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）的形式，（1）利用y=Asin（ωx+φ）型函数参数的几何意义及周期计算公式即可得M、T，再将内层函数看作整体，利用外层函数的单调性解不等式即可得函数f（x）的单调增区间；（2）因为f（xi）=M，所以xi为函数f（x）的对称轴，求出此对称轴方程，在规定范围内列举求和即可
解答：解：f(x)=2
3
sinxcosx+2cos2x-1
=
3
sin2x+cos2x=2（cos
π
6
sin2x+sin
π
6
cos2x）
=2sin（2x+
π
6
）
（1）∴函数f（x）的最大值M=2，最小正周期T=
2π
2
=π
由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
π
2
+2kπ，得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，k是整数
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]k∈z
（2）∵f（xi）=M=2
∴2xi+
π
6
=2kπ+
π
2
，xi=kπ+
π
6

∵0＜xi＜10π，∴0≤k≤9  k∈Z
∴x1+x2+…+x10=（1+2+3+…+9）π+10×
π
6
=
140π
3
点评：本题考查了利用三角变换公式化简三角函数式的技巧，y=Asin（ωx+φ）型函数参数的几何意义及周期计算公式，单调区间和对称轴的求法
练习册系列答案
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（2013•广东模拟）设函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω＞0，-
π
2
＜φ＜
π
2
)的图象关于直线x=
2
3
π对称，它的周期是π，则（　　）
设函数f(x)=
2
3
+
1
x
(x＞0)，数列{an}满足a1=1，an=f(
1
an-1
)，n∈N*且n≥2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对n∈N*，设Sn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+
1
a3a4
+…+
1
anan+1
，求证：Sn＜
3
2
．
设函数f(x)=
2
3
+
1
x
(x＞0)，数列{an}满足a1=1，an=f(
1
an-1
)，n∈N*且n≥2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对n∈N*，设Sn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+
1
a3a4
+…+
1
anan+1
，若Sn≥
3t
4n
恒成立，求实数t的取值范围．
（2012•太原模拟）设函数f(x)=a(x+
1
x
)+2lnx，g(x)=x2．
（1）若a=
1
2
时，直线l与函数f（x）和函数g（x）的图象相切于同一点，求切线l的方程；
（2）若f（x）在[2，4]内为单调函数，求实数a的取值范围．
说明：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．
（2012•顺义区一模）已知向量
m
=(2cos
x
2
，1)，
n
=(cos
x
2
，-1)，（x∈R），设函数f(x)=
m
•
n
．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）已知△ABC的三个内角分别为A、B、C，若f(A)=
1
3
，BC=2
3
，AC=3，求边长AB的值．

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