Question

（08年新建二中四模）如图,已知正方形和矩形所在平面互相垂直,,,是线段的中点.

  ⑴求证：平面；   

  ⑵求二面角的大小；

  ⑶试问：在线段上是否存在一点,使得直线与所成角为？

Answer 1

解析: (Ⅰ) 略                        

 (Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，

∵AB⊥AF， AB⊥AD， ∴AB⊥平面ADF，                           

∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BS⊥DF.

∴∠BSA是二面角A―DF―B的平面角。           

在RtΔASB中，∴       

 ∴二面角A―DF―B的大小为60º.               

（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，

∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，

∴PQ⊥平面ABF，QF平面ABF， ∴PQ⊥QF.                               

在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ.

∵ΔPAQ为等腰直角三角形，∴                        

又∵ΔPAF为直角三角形，∴，

∴   所以t=1或t=3(舍去)即点P是AC的中点.