Question

【题目】已知函数（其中）.

（1）当时，若函数在上单调递减，求的取值范围；

（2）当，时，

①求函数的极值；

②设函数图象上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见解析，②

【解析】

（1）当时，求出导数，分离参数，求出即可；

（2）①时，对进行讨论，根据的导数判断呐喊声的单调性和极值得出结论；

②设切点为，则曲线在点处的切线方程为，当时，切线没有截距，否则表示出截距，结合基本不等式求出截距的范围．

（1）时， 的导函数，

∴由题意知对任意有，即

∴，即.

（2）时， 的导函数，

①(i)当时，有；，

∴函数在单调递增，单调递减，

∴函数在取得极大值，没有极小值.

(ii)当时，有；，

∴函数在单调递减，单调递增，

∴函数在取得极小值，没有极大值.

综上可知: 当时，函数在取得极大值，没有极小值；

当时，函数在取得极小值，没有极大值.

②设切点为，则曲线在点处的切线方程为，

当时，切线的方程为，其在轴上的截距不存在.

当时，

∴令，得切线在轴上的截距为

∴当时，

，

当时，，

∴当切线在轴上的截距范围是.