Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB.现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC.

（Ⅰ）若BE＝1，是否在折叠后的线段AD上存在一点P，且，使CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由；

（Ⅱ）求三棱锥A－CDF的体积的最大值，并求出此时二面角E－AC－F的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析:（1）过点P作MP∥FD交AF于点M，若MP=CE,则四边形MPCE为平行四边形，即有CP∥ME，也就得CP∥平面ABEF,因此由相似比可得λ的值，（2）由面面垂直性质定理得AF⊥平面EFDC,所以AF为高,根据三棱锥体积公式以及基本不等式可得体积最大值;过E作EO⊥CF,则根据三垂线定理可得AO⊥CF,即∠AOE为二面角E－AC－F的平面角,最后通过解三角形得余弦值

试题解析：∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC＝EF，FD⊥EF，

∴FD⊥平面ABEF，又AF平面ABEF，

∴FD⊥AF，

在折起过程中，AF⊥EF，又FD∩EF＝F，

∴AF⊥平面EFDC.

以F为原点，FE，FD，FA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

（I）解法一：若BE＝1，则各点坐标如下：

F(0,0,0)，A(0,0,1)，D(0,5,0)，C(2,3,0)，

∴平面ABEF的法向量可为＝(0,5,0)，

∵＝λ，

∴－＝λ(－)，

∴＝＋＝ (0,0,1)＋ (0,5,0)＝，

∴P，

∴＝＝，

若CP∥平面ABEF，则必有⊥，即·＝0，

∵·＝·(0,5,0)＝·5＝0，

∴λ＝，

∴AD上存在一点P，且＝，使CP∥平面ABEF.

解法二：AD上存在一点P，使CP∥平面ABEF，此时λ＝.理由如下：

当λ＝时，＝，可知＝，

过点P作MP∥FD交AF于点M，连接EM，PC，则有＝＝，

又BE＝1，可得FD＝5，故MP＝3，

又EC＝3，MP∥FD∥EC，故有MP∥EC，故四边形MPCE为平行四边形，

∴CP∥ME，又CP平面ABEF，ME平面ABEF，

故有CP∥平面ABEF.

（II）设BEx(0<x≤4)，则AF＝x，FD＝6－x，

故V三棱锥A－CDF＝··2·(6－x)·x＝ (－x2＋6x)，

∴当x＝3时，V三棱锥A－CDF有最大值，且最大值为3，

∴A(0,0,3)，D(0,3,0)，C(2,1,0)，E(2,0,0)，

∴＝(2,0，－3)，＝(2,1，－3)，＝(0,0,3)，＝(2,1,0)，

设平面ACE的法向量m＝(x1，y1，z1)，

则，即，

令x1＝3，则y1＝0，z1＝2，则m＝(3,0,2)．

设平面ACF的法向量n＝(x2，y2，z2)，

则，即，

令x2＝1，则y2＝－2，z2＝0，则n＝(1，－2,0)，

则cos〈m，n〉＝＝＝，

故二面角E－AC－F的余弦值为.