Question

梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B=60°，AB=BC，E为AB的中点,求证:△ECD为等边三角形.

图1-1-25

Answer 1

思路分析:一般在梯形中给出了一腰的中点，常添加的辅助线有:①过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理推论得另一腰的中点；②可延长DE（或CE）与底边相交，构造全等三角形.

证明：连结AC，过点E作EF∥AD交DC于F.

∵梯形ABCD,∴AD∥BC.

∴AD∥EF∥BC.

又∵E是AB的中点，∴F是DC的中点.

（经过梯形一腰的中点与底平行的直线平分另一腰）

∵DC⊥BC,∴EF⊥DC.

∴ED=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）.

∴△EDC为等腰三角形.

∵AB=BC,∠B=60°,

∴△ABC是等边三角形.

∴∠ACB=60°.

又E是AB边的中点,∴CE平分∠ACB.

∴∠1=∠2=30°.∴∠DEF=30°.∴∠DEC=60°.

又ED=EC,∴△DEC为等边三角形.