题目内容

在数列 $数学公式$
（I）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（II）设 $数学公式$ S_n．

解：（I）由题设a_n+1=2a_n-n+1，可得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
又a₁-1=1，所以数列{a_n-n}首项为1，公比为2的等比数列；
（II）由（I）可知a_n-n=2^n-1，于是数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1+n，
所以数列b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以S_n= $\text{[math]}$ +[1 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ +3• $\text{[math]}$ +…+（n-1） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ]，
设T_n=1 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ +3• $\text{[math]}$ +…+（n-1） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ①
所以 $\text{[math]}$ T_n=1 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ +3• $\text{[math]}$ +…+（n-1） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ②
①-②可得 $\text{[math]}$ T_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =1 $\text{[math]}$ ，
故T_n= $\text{[math]}$ ，故S_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（I）变形原条件可得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），易确定等比关系；（II）由（I）可得{a_n}的通项公式，进而可得{b_n}的通项公式，由错位相减法易得答案．
点评：本题考查等比关系的确定和错位相减法求和，属中档题．