题目内容

在数列{an}中，a1=4且对于任意的自然数n∈N+都有an+1=2（an-n+1）
（I）证明数列{an-2n}是等比数列．
（II）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn．
分析：（I）用第n+1项除以第n项，将已知等式代入，求出商是常数，利用等比数列的定义得证．
（II）利用等比数列的通项公式求出an-2n，求出an，据an是有一个等差数列与一个等比数列的和构成的，所以利用分组法求出前n项和．
解答：解：（I）∵an+1=2（an-n+1）
∴
an+1-2(n+1)
an-2n
=
2(an-n+1)-2(n+1)
an-2n
=
2(an-2n)
an-2n
=2
∴数列{an-2n}是以a1-2=2为首项，以2为公比的等比数列
（II）由（I）可得
an-2n=2•2n-1=2n
∴an=2n+2n
∴Sn=
2-2n+1
1-2
+
(2+2n)n
2
=2n+1-2+n2+n
点评：在求数列的前n项和时，先判断数列通项的特点，据特点选择合适的求和方法．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为an=
2-21-n
2-21-n
．
在数列{an}中，a 1=
1
3
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
an
n
}的前n项和为Tn，证明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．
在数列{an}中，a=
12
，前n项和Sn=n2an，求an+1．
在数列{an}中,a1=a,前n项和Sn构成公比为q的等比数列,________________.

(先在横线上填上一个结论,然后再解答)

在数列{an}中，a，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为Tn，证明：．

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