Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x+2的图象上（n∈N^*）
（I）证明数列{a_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）设数列{b_n}满足bn=2an-1，求数列{b_n}的通项公式及前n项和公式S_n．

Answer 1

分析：（I）将（a_n，a_n+1）代入f（x）=x+2，利用等差数列的定义即可证明数列{a_n}是等差数列，可求其通项公式；
（II）利用等比数列的定义证明数列{b_n}是等比数列，从而可求其通项公式及前n项和公式S_n．

解答：解：（I）∵点（a_n，a_n+1）在f（x）=x+2的图象上，
∴a_n+1=a_n+2，
∴a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}是以a₁=1为，2为公差的等差数列，
∴a_n=2n-1，
（II）b_n=2^2n-2=4n-1，

bn+1

bn

=4，b1=1
∴{b_n}是以b₁=1为，4为公比的等比数列，
S_n=

1-4n

1-4

=

4n-1

3

．

点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式与求和公式的简单应用，解决的方法是公式法，是容易题．