Question

【题目】是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acosx＋a－在闭区间[0，]上的最大值是1？若存在，则求出对应的a的值；若不存在，则说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】解 y＝sin2x＋acosx＋a－

＝1－cos2x＋acosx＋a－

＝－(cosx－)2＋＋a－.

∵0≤x≤，∴0≤cosx≤1，令cosx＝t，

则y＝－(t－)2＋＋a－，0≤t≤1.

当>1，即a>2时，函数y＝－(t－)2＋＋a－在t∈[0,1]上单调递增，

∴t＝1时，函数有最大值ymax＝a＋a－＝1，

解得a＝<2(舍去)；

当0≤≤1，即0≤a≤2时，

t＝函数有最大值，

ymax＝＋a－＝1，

解得a＝或a＝－4(舍去)；

当<0，即a<0时，

函数y＝－(t－)2＋＋a－在t∈[0,1]上单调递减，

∴t＝0时，函数有最大值ymax＝a－＝1，

解得a＝>0(舍去)，

综上所述，存在实数a＝使得函数有最大值．