Question

【题目】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知点，为动直线与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（I）；（II）存在定点，定值为.

【解析】

试题分析：（I）利用原点到直线的距离为列方程，联立解方程组，求得，椭圆方程为；（II）先假设定点为.联立直线点的方程和椭圆方程，斜率关于坐标的韦达定理，将此代入题设为定值，由此求得，代回原式求得定值为.

试题解析：

（1）由得，即①

又以原点为圆心，椭圆的长轴长为半径的圆为

且与直线相切，

所以代入①得，

所以．所以椭圆的标准方程为

（2）由得

设、，所以，

根据题意，假设轴上存在定点，

使得为定值．

则

要使上式为定值，即与无关，，

得．

此时，，所以在轴上存在定点，使得为定值，且定值为．