已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心.∠A=60°.$\frac{cosB}{sinC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$•$\overrightarrow{AC}$=2m•$\overrightarrow{AO}$.则m的值为( )A．$\frac{\sqrt{3}}{2}$B．$\sqrt{2}$C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心，∠A=60°，$\frac{cosB}{sinC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$•$\overrightarrow{AC}$=2m•$\overrightarrow{AO}$，则m的值为（　　）

A．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

B．

$\sqrt{2}$

C．

D．

$\frac{1}{2}$

分析根据O是△ABC的外接圆圆心便可得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}=\frac{|\overrightarrow{AB}{|}^{2}}{2}，\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}=\frac{|\overrightarrow{AC}{|}^{2}}{2}$，这样在$\frac{cosB}{sinC}•\overrightarrow{AB}+\frac{cosC}{sinB}•\overrightarrow{AC}=2m•\overrightarrow{AO}$两边同乘以$\overrightarrow{AO}$，便可得到$\frac{cosB}{sinC}•\frac{|\overrightarrow{AB}|}{2}+\frac{cosC}{sinB}•\frac{|\overrightarrow{AC}{|}^{2}}{2}=2m•|\overrightarrow{AO}{|}^{2}$，而可设△ABC的外接圆半径为R，从而$|\overrightarrow{AO}|=R$，并且由正弦定理有$|\overrightarrow{AB}|=2RsinC，|\overrightarrow{AC}|=2RsinB$，带入上式便可得到，sinCcosB+cosCsinB=m，根据∠A=60°及两角和的正弦公式便可求出m的值．

解答解：如图，取AB的中点D，AC的中点E，连接OD，OE，则：
OD⊥AB，OE⊥AC；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AO}|cos∠BAO$=$\frac{|\overrightarrow{AB}{|}^{2}}{2}$，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}=\frac{|\overrightarrow{AC}{|}^{2}}{2}$；
∴由$\frac{cosB}{sinC}•\overrightarrow{AB}+\frac{cosC}{sinB}•\overrightarrow{AC}=2m•\overrightarrow{AO}$得，$\frac{cosB}{sinC}•\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}+\frac{cosC}{sinB}•\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}=2m•{\overrightarrow{AO}}^{2}$；
∴$\frac{cosB}{sinC}•\frac{|\overrightarrow{AB}{|}^{2}}{2}+\frac{cosC}{sinB}•\frac{|\overrightarrow{AC}{|}^{2}}{2}=2m•|\overrightarrow{AO}{|}^{2}$（1）；
设△ABC的外接圆半径为R，则$|\overrightarrow{AO}|=R$；
由正弦定理得，$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{sinC}=\frac{|\overrightarrow{AC}|}{sinB}=2R$；
∴$|\overrightarrow{AB}|=2RsinC，|\overrightarrow{AC}|=2RsinB$，且$|\overrightarrow{AO}|=R$，代入（1）得：
2cosBsinC•R²+2cosCsinB•R²=2mR²；
∴sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sinA=m；
又∠A=60°；
∴$m=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：A．