Question

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F(c，0)(c＞0)的准线l与x轴相交于点A，|OF|＝2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．

(1)求椭圆的方程及离心率；

(2)若·＝0，求直线PQ的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题意，可设椭圆的方程为＝1(a＞)， 　　由已知得解之，得a＝，c＝2． 　　所以椭圆的方程为＝1，离心率e＝． 　　(2)由(1)可得A(3，0)，直线PQ的斜率显然存在． 　　设直线PQ的方程为y＝k(x－3)， 　　由方程组 　　得(3k2＋1)x2－18k2x＋27k2－6＝0． 　　依题意，Δ＝12(2－3k2)＞0，得＜k＜． 　　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，① 　　x1x2＝．② 　　由直线PQ的方程得y1＝k(x1－3)，y2＝k(x2－3)， 　　于是y1y2＝k2(x1－3)(x2－3)＝k2[x1x2－3(x1＋x2)＋9]．③ 　　∵·＝0， 　　∴x1x2＋y1y2＝0．④ 　　由①②③④得5k2＝1，从而k＝±∈(－，)． 　　所以直线PQ的方程为x－y－3＝0或x＋y－3＝0．

提示：

求椭圆的标准方程的关键是确定焦点位置，常量a，b，c的值．而第(2)问属于直线与椭圆的综合题．