Question

3．过点P（1，3）作一条直线l，与双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1交于A、B两点，P点刚好是线段AB的中点，这样的直线l是否存在，为什么？若存在，求出直线l的方程．

Answer 1

分析 假设存在过点P（1，3）作一条直线l，P点刚好是线段AB的中点．设直线l：x=1或y-3=k（x-1），代入双曲线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得k，再检验判别式是否大于0，即可判断．

解答 解：假设存在过点P（1，3）作一条直线l，
P点刚好是线段AB的中点．
设直线l：x=1或y-3=k（x-1），
当直线为x=1时，代入双曲线方程，方程无解，不成立；
当直线为y=kx+3-k，代入双曲线方程，可得2x²-（kx+3-k）²=8，
即有（2-k²）x²-2k（3-k）x-（3-k）²-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{2k（3-k）}{2-{k}^{2}}$，
由中点坐标公式可得$\frac{k（3-k）}{2-{k}^{2}}$=1，
解得k=$\frac{2}{3}$．
判别式为4k²（3-k）²+4（2-k²）[8+（3-k）²]
=4×$\frac{4}{9}$×$\frac{121}{9}$+4×$\frac{14}{9}$×（8+$\frac{49}{9}$）＞0，
故存在这样的直线l，且为直线l：y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{7}{3}$．

点评 本题考查直线和双曲线方程联立，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．