Question

设函数．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

解：（1）当a=0时，f（x）=，f′（x）=，
∴f′（1）=，即切线的斜率k=，又f（1）=，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为：y-=（x-1），即y=x．
（2）∵f（x）=，
∴f′（x）===-．
若a＞2，由f′（x）＞0得，2＜x＜a；由f′（x）＜0得x＜2或x＞a，
即当a＞2时，f（x）的单调递增区间为（2，a），单调递减区间为（-∞，2），（a，+∞）；
同理可得，当a=2时，f′（x）≤0，f（x）在R上单调递减；
当a＜2时，f（x）的单调递增区间为（a，2），单调递减区间为（-∞，a），（2，+∞）；
分析：（1）当a=0时，f（x）=，f′（x）=，于是可求f′（1）=，f（1）=，从而可求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；
（2）由f（x）=，可求得f′（x）=-，通过对a与2的大小关系的讨论，即可求得f（x）的单调区间．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，在（2）中求得f′（x）=-是关键，着重考查导数的应用与分类讨论思想，属于中档题．