Question

【题目】已知抛物线，点与抛物线的焦点关于原点对称，过点且斜率为的直线与抛物线交于不同两点，线段的中点为，直线与抛物线交于两点．

（Ⅰ）判断是否存在实数使得四边形为平行四边形．若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（Ⅱ）求的取值范围．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）设直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得点坐标，求得直线的方程，代入抛物线方程，若四边形为平行四边形，当且仅当，即，求得的值，结合，故不存在使得四边形为平行四边形；（Ⅱ）计算出，根据的取值范围，即可求得的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）设直线的方程为，设．

联立方程组，得．

显然，且，即，得且．

得，

， ．

直线的方程为： ，

联立方程组，得，

得，

若四边形为平行四边形，

当且仅当 ，即，

得，与且矛盾．

故不存在实数使得四边形为平行四边形

（Ⅱ）

由且，得；

当， 取得最小值；

当时， 取；当时， 取；

所以