Question

某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，且只能从中选一门．该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同．
（Ⅰ）求3个学生选择了3门不同的选修课的概率；
（Ⅱ）求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；
（Ⅲ）设随机变量ξ为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，求ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

分析：（1）这是一个古典概型问题，根据分步计数原理总事件数是4³，满足条件的事件数是A₄³，代入古典概型公式得到结果．
（2）本题的总是件数同前面，满足条件的事件数是C₄²C₃²A₂²，代入公式得到结果．
（3）某一选择修课这3个学生选择的人数为0，1，2，3，类似于前面所说，求出各种不同情况下对应的概率，写出分布列，算出期望．

解答：解：（Ⅰ）根据分步计数原理总事件数是4³，
满足条件的事件数是A₄³，
∴3个学生选择了3门不同的选修课的概率：P₁=

A 3 4

43

=

3

8

（Ⅱ）恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率：P2=

C 2 4 C 1 3 A 2 2

43

=

9

16

（Ⅲ）设某一选择修课这3个学生选择的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3．
P（ξ=0）=

33

43

=

27

64

；
P（ξ=1）=

C 1 3 32

43

=

27

64

；
P（ξ=2）=

C 2 3 •3

43

=

9

64

；
P（ξ=3）=

1

43

=

1

64

．
∴ξ的分布列为：

∴期望Eξ=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

．

点评：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识．