Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为

5 2

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为-

1

2

，求斜率k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率为

6

3

，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为

5 2

3

，建立方程，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）将y=k（x+1）代入椭圆方程，利用韦达定理，及线段AB中点的横坐标为-

1

2

，可求斜率k的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意，

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)满足a²=b²+c²，

c

a

=

6

3

，

1

2

×b×2c=

5 2

3

…（3分）
解得a2=5，b2=

5

3

，则椭圆方程为

x2

5

+

y2

5 3

=1…（6分）
（Ⅱ）将y=k（x+1）代入

x2

5

+

y2

5 3

=1中得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0…（8分）
△=36k⁴-4（3k²+1）（3k²-5）=48k²+20＞0，所以x1+x2=-

6k2

3k2+1

…（10分）
因为AB中点的横坐标为-

1

2

，所以-

6k2

3k2+1

=-1，解得k=±

3

3

…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．