Question

设-

π

2

＜α＜

π

2

，-

π

2

 ＜β＜

π

2

，tanα，tanβ是方程x²-3

3

x+4=0的两个不等实根，则α+β的值为（　　）

• A．

  2π

  3

• B．-

  π

  3

• C．

  π

  3

• D．-

  π

  3

  或

  2π

  3

Answer 1

分析：先利用一元二次方程根与系数的关系，求出tanα+tanβ和tanα•tanβ的值，利用正切的两角和公式求出tan（α+β）的值，根据所给的角的范围与角的正切值确定角的和的范围，根据特殊角的三角函数值得到结果．

解答：解：∵tanα，tanβ是方程x²-3

3

x+4=0的两个不等实根，
∴有tanα+tanβ=3

3

，①
tanα•tanβ=4，②
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

3 3

1-4

=-

3

，
∵

π

2

＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜

π

2

由②知两个角是在同一个象限，由①知两个角的正切值都是正数，
∴0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

∴0＜α+β＜π
∴α+β=

2π

3

故选A

点评：本题考查了方程的根与系数的关系，两角和的正切公式，本题解题的关键是根据所给的两个角的正切值更准确的确定角的位置，进一步写出两个角的和的范围，本题是一个易错题．