题目内容
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(n≥3，n∈N) 是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列，其中O是坐标原点。记Sn=a1+a2+…+an，
（1）若C的方程为
-y2=1，n=3，点P1(3，0) 及S3=162，求点P3的坐标；(只需写出一个)
（2）若C的方程为y2=2px(p≠0)，点P1(0，0)，对于给定的自然数n，证明：(x1+p)2，(x2+p)2，…，(xn+p)2成等差数列；
（3）若C的方程为
(a＞b＞0)，点P1(a，0)，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值。
（1）若C的方程为
-y2=1，n=3，点P1(3，0) 及S3=162，求点P3的坐标；(只需写出一个) （2）若C的方程为y2=2px(p≠0)，点P1(0，0)，对于给定的自然数n，证明：(x1+p)2，(x2+p)2，…，(xn+p)2成等差数列；
（3）若C的方程为
(a＞b＞0)，点P1(a，0)，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值。解：(1)a1=
2=9，
由S3=
(a1+a3)=162，得a3=
3=99，
由
，得
，
∴点P3的坐标可以为(3
，3)。
(2)对每个自然数k，1≤k≤n，
由题意
2=(k-1)d，及
，得
，
即(xk+p)2=p2+(k-1)d，
∴(x1+p)2，(x2+p)2，…，(xn+p)2是首项为p2，公差为d的等差数列；
(3)原点O到二次曲线C：
(a＞b＞0)上各点的最小距离为b，最大距离为a，
∵a1=
2=a2，
∴d＜0，且an=
2=a2+(n-1)d≥b2，
∴
≤d＜0，
∵n≥3，
＞0，
∴Sn=na2+
d在[
，0)上递增，
故Sn的最小值为
。
2=9，由S3=
(a1+a3)=162，得a3=3=99，由
，得，∴点P3的坐标可以为(3
，3)。(2)对每个自然数k，1≤k≤n，
由题意
2=(k-1)d，及，得，即(xk+p)2=p2+(k-1)d，
∴(x1+p)2，(x2+p)2，…，(xn+p)2是首项为p2，公差为d的等差数列；
(3)原点O到二次曲线C：
(a＞b＞0)上各点的最小距离为b，最大距离为a， ∵a1=
2=a2， ∴d＜0，且an=
2=a2+(n-1)d≥b2， ∴
≤d＜0，∵n≥3，
＞0，∴Sn=na2+
d在[，0)上递增，故Sn的最小值为
。 
练习册系列答案
相关题目
－y2＝1，n＝3．点P1(3，0)及S3＝162，求点P3的坐标；(只需写出一个)
＋
＝1(a＞b＞0)．点P1(a，0)，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值．
构成了一个公差d(d
．点
．点
构成了一个公差d(d
．点
．点