Question

设f(x)是定义在[-1，1]上的偶函数，g(x)与f(x)的图象关于直线x－1＝0对称．且当x∈[2，3]时，g(x)＝2a·(x－2)－4(x－2)³(a为实数)

（1）求函数f(x)的表达式；

（2）在a∈(2，6]或(6，＋∞)的情况下，分别讨论函数f(x)最大值，并指出a为何值时，f(x)的图像的最高点恰好落在直线y＝12上．

Answer 1

答案：
解析：

(1) 　　　(2) 当时，f(x)的最大值为，当时，f(x)的最大值为f(±1)＝2a－4．并且，当a＝8时，函数f(x)的图像的最高点恰好落在直线y＝12上． （1）当时，，由于g(x)与f(x)的图象关于直线x－1＝0对称，所以， 当时，，由f(x)为偶函数，可知： 所以，． （2）不妨在区间上任取，设，则 如果,则，故<0，即f(x)在区间[0，1]上单调递增．所以，f(x)的最大值在取得，为f(1)＝2a－4． 令f(1)＝2a－4＝12可解得：a＝8 如果，则的符号不能确定，为确定f(x)的单调区间，可令<0 由于x1＜x2，要使上式成立，只需：，即，由此不难得知： f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．（证明略） 所以，f(x)在区间[－1，1]上的最大值为． 令=12，解之得：，与 矛盾． 综上可知：当时，f(x)的最大值为，当时，f(x)的最大值为． 并且，当a＝8时，函数f(x)的图像的最高点恰好落在直线y＝12上．

提示：

(1)注意到g(x)是定义在区间[2，3]上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出f(x)在区间[－1，0]上的解析式，f(x)在区间[0，1]上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求． (2)因为f(x)为偶函数，所以，f(x)(－1≤x≤1)的最大值，必等于f(x)在区间[0，1]上的最大值．故只需考虑0≤x≤1的情形，此时，f(x)＝－4x3＋2ax．对于这个三次函数，要求其最大值，比较容易想到的方法是：考虑其单调性．