题目内容

函数y=sin2x-x，x∈[-
π
2
，
π
2
]的最大值是
π
2
π
2
．
分析：利用函数单调性与导数关系，求得y′，再通过y′的正负得出函数的单调区间，在端点值与极值中取最大值为所求的最大值．
解答：解：y=sin2x-x，y′=2cos2x-1，
当x∈[-
π
2
，
π
2
]时，2x∈[-π，π]．
由y′＞0得  -
π
3
＜2x＜
π
3
，即-
π
6
＜x＜
π
6
，f（x）在(-
π
6
，
π
6
)上单调递增．
由y′＜0得-π＜2x＜-
π
3
，或
π
3
＜2x＜π，即-
π
2
＜x＜-
π
6
或
π
6
＜x＜π．f（x）在(-
π
2
，-
π
6
)，(
π
6
，π)上单调递减．
最大值在f(-
π
2
)，f(
π
6
)，f(
π
2
)中取得．
在f(-
π
2
)=
π
2
，f(
π
6
)=
3
2
-
π
6
，f(
π
2
)=-
π
2

最大值为f(-
π
2
)=
π
2

故答案为：
π
2
点评：本题是一道利用函数单调性与导数关系，求函数最值的题目．属于常规性题目．
练习册系列答案
相关题目
设定义在区间(0，
π
2
)上的函数y=sin2x的图象与y=
1
2
cosx图象的交点横坐标为α，则tanα的值为
15
15
15
15
．
给出下列四个命题，其中正确命题的序号是
 

①函数y=sin(2x+
π
6
)的图象可由函数y=sin2x的图象向左平移
π
6
单位得到；
②△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知A=60°，a=7，则b+c不可能等于15；
③若函数f（x）的导数为f'（x），f（x0）为f（x）的极值的充要条件是f'（x0）=0；
④在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象只有一个公共点．
给出下列命题：
①函数y=sin（
2
3
x+
7π
2
）是偶函数；
②函数y=2|x|的最小值是1；
③函数y=ln（x2+1）的值域是R；
④函数y=sin2x的图象向左平移
π
4
个单位，得到y=sin（2x+
π
4
）的图象
⑤函数f（x）=2x-x2只有两个零点；
其中正确命题的序号是
①②⑤
①②⑤
．
把函数y=sin2x的图象沿 x轴向左平移
π
6
个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y=f（x）图象，对于函数y=f（x）有以下四个判断：
①该函数的解析式为y=2sin（2x+
π
6
）；  
②该函数图象关于点（
π
3
，0）对称；　
③该函数在[0，
π
6
]上是增函数；
④函数y=f（x）+a在[0，
π
2
]上的最小值为
3
，则a=2
3
．
其中，正确判断的序号是
②④
②④
．
函数y=sin2x的图象在点P(
π
6
，
1
4
)处的切线的斜率是
3
2
3
2
．

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