题目内容

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且 2a₁+3a₂=1， $数学公式$ =9a₂a₆．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设 b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求 $数学公式$ 的前n项和T_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求使 $数学公式$ ≥（7-2n）T_n恒成立的实数k的取值范围．

解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由 $\text{[math]}$ =9a₂a₆得 $\text{[math]}$ =9 $\text{[math]}$
所以q²= $\text{[math]}$ ．
由条件可知q＞0，故q= $\text{[math]}$ ．
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，所以a₁= $\text{[math]}$ ．
故数列{a_n}的通项式为a_n= $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-（1+2+…+n）=- $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =-2（ $\text{[math]}$ ）
∴T_n=-2[（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ ）]=- $\text{[math]}$ ；
（Ⅲ） $\text{[math]}$ ≥（7-2n）T_n等价于 $\text{[math]}$
化简得k≥ $\text{[math]}$ 恒成立
设d_n= $\text{[math]}$ ，则d_n+1-d_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
当n≥5，d_n+1≤d_n，{d_n}为单调递减数列，1≤n＜5，d_n+1＞d_n，{d_n}为单调递增数列
当n≥5，c_n+1≤c_n，{c_n}为单调递减数列，当1≤n＜5，c_n+1＞c_n，{c_n}为单调递增数列
∵ $\text{[math]}$ =d₄＜d₅= $\text{[math]}$ ，∴n=5时，d_n取得最大值为 $\text{[math]}$
∴使 $\text{[math]}$ ≥（7-2n）T_n（n∈N^*）恒成立的实数 $\text{[math]}$
分析：（I）先根据2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆求出等比数列的通项；
（Ⅱ）求出数列{b_n}的通项，利用裂项法求和即可得到求 $\text{[math]}$ 的前n项和T_n；
（Ⅲ）把 $\text{[math]}$ ≥（7-2n）T_n恒成立转化为k≥ $\text{[math]}$ 恒成立，求出不等式右边的最大值即可．
点评：本题考查数列与不等式的综合以及数列求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题目．