Question

已知函数y=cos²x+asinx-a²+2a+5有最大值2，试求实数a的值．

Answer 1

分析：通过平方关系结合换元法，配方法得f（t）=-t²+at-a²+2a+6，对a分类0＜a≤2，a＞2讨论，结合函数的最值，求出a的值即可．

解答：解：y=1-sin²x+asinx-a²+2a+5，令sinx=t，
则y=f（t）=-t²+at-a²+2a+6，t∈[-1，1]，对称轴为t=

a

2

当

a

2

＜-1时，即a＜-2，y_max=f（-1）=-a²+a+5=2，a=

1± 13

2

（舍）
当-1≤

a

2

≤1时，即-2≤a≤2，ymax=f(

a

2

)=-

3

4

a2+2a+6=2，此时a=4(舍)或a=-

4

3

．
当

a

2

＞1时，即a＞2，y_max=f（1）=-a²+3a+5=2，a=

3+ 21

2

或a=

3- 21

2

（舍）
所以a=

3+ 21

2

．

点评：本题是中档题，考查三角函数的最值的应用，考查分类讨论思想，配方法的应用，注意三角函数的有界性，是本题的关键．