题目内容

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）已知函数y=cos² $数学公式$ +sin² $数学公式$ -1，求y的取值范围．

解：（1）由（2a-c）cosB=bcosC，得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA．
∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴cosB= $\text{[math]}$ ，∵0＜B＜π，∴B= $\text{[math]}$ ．
（2）∵B= $\text{[math]}$ ，∴A+C= $\text{[math]}$ ，∴函数y=cos² $\text{[math]}$ +sin² $\text{[math]}$ -1= $\text{[math]}$ -1
= $\text{[math]}$ [cosA-cos（ $\text{[math]}$ ）]= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ cosA- $\text{[math]}$ sinA）= $\text{[math]}$ cos（ $\text{[math]}$ +A）．
∵0＜A＜ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＜（ $\text{[math]}$ +A）＜ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ＜cos（ $\text{[math]}$ +A）＜ $\text{[math]}$ ，
∴- $\text{[math]}$ ＜y＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题意可得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，cosB= $\text{[math]}$ ，根据0＜B＜π，可得 B= $\text{[math]}$ ．
（2）化简函数y= $\text{[math]}$ cos（ $\text{[math]}$ +A），根据 0＜A＜ $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ＜（ $\text{[math]}$ +A）＜ $\text{[math]}$ ，从而求得cos（ $\text{[math]}$ +A）的范围，
即可求得y的范围．
点评：本题考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，余弦汗水due值域，化简函数y= $\text{[math]}$ cos（ $\text{[math]}$ +A），是解题的
关键．