Question

【题目】已知函数， .

（1）若曲线与在公共点处有相同的切线，求实数的值；

（2）当时，若曲线与在公共点处有相同的切线，求证：点唯一；

（3）若， ，且曲线与总存在公切线，求：正实数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）1.

【解析】试题分析：（1）曲线与在公共点处有相同的切线， ，解出即可；（2）设，由题设得，转化为关于的方程只有一解，进而构造函数转化为函数只有一个零点，利用导数即可证明；（3）设曲线在点处的切线方程为，则只需使该切线与相切即可，也即方程组，只有一解即可，所以消去后，问题转化关于方程总有解，分情况借助导数进行讨论即可求得值.

试题解析：（1），．∵曲线与在公共点处有相同的切线∴　，　 解得，．

（2）设，则由题设有 … ①又在点有共同的切线

∴代入①得

设，则，

∴在上单调递增，所以 ＝0最多只有个实根，

从而，结合（Ⅰ）可知，满足题设的点只能是

（3）当，时，，，

曲线在点处的切线方程为，即．

由，得 ．

∵ 曲线与总存在公切线，∴ 关于的方程，

即 总有解．

若，则，而，显然不成立，所以 ．

从而，方程可化为 ．

令，则．

∴ 当时，；当时，，即 在上单调递减，在上单调递增．∴在的最小值为，

所以，要使方程有解，只须，即．