题目内容
已知数列{an}中，a1=1，an+1=
（n∈N）．（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）设：
求数列{bnbn+1}的前n项的和Tn；（3）已知P=（1+b1）（1+b3）（1+b5）…（1+b2n-1），求证：Pn＞
．
【答案】分析：（1）由an+1=
得：
且
，所以 
，由此得
．
（2）由
得：
，∴
，从而：
，由裂项求和法能得到数列{bnbn+1}的前n项的和Tn．
（3）由Pn=（1+b1）（1+b3）（1+b5）…（1+b2n-1）=
，（4n）2＜（4n）2-1，知
，由此能够证明Pn＞
．
解答：解：（1）由an+1=
得：
且
，
所以知：数列{
}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
所以
，得
．
（2）由
得：
，∴
，
从而：
，
则 Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1=
=（1-
）+（
）+（
）+…+（
）
=1-
．
（3）已知Pn=（1+b1）（1+b3）（1+b5）…（1+b2n-1）=
，
∵（4n）2＜（4n）2-1，∴
设：
，则Pn＞Tn
从而：
，
故：Pn＞
．
点评：本题考查数列的通项公式、前n项和的求法和数列与不等式的综合运用，解题时要注意构造法、裂项求和法的合理运用．
得：
且
，所以 
，由此得
．（2）由
得：
，∴
，从而：
，由裂项求和法能得到数列{bnbn+1}的前n项的和Tn．（3）由Pn=（1+b1）（1+b3）（1+b5）…（1+b2n-1）=
，（4n）2＜（4n）2-1，知
，由此能够证明Pn＞
．解答：解：（1）由an+1=
得：
且
，所以知：数列{
}是以1为首项，以2为公差的等差数列，所以
，得
．（2）由
得：
，∴
，从而：
，则 Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1=
=（1-
）+（
）+（
）+…+（
）=1-
．（3）已知Pn=（1+b1）（1+b3）（1+b5）…（1+b2n-1）=
，∵（4n）2＜（4n）2-1，∴
设：
，则Pn＞Tn从而：
，故：Pn＞
．点评：本题考查数列的通项公式、前n项和的求法和数列与不等式的综合运用，解题时要注意构造法、裂项求和法的合理运用．
练习册系列答案
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A、
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B、
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C、
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D、
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