Question

设A，F分别是椭圆（a＞b＞0）的左顶点与右焦点，若在其右准线上存在点P，使得线段PA的垂直平分线恰好经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是_____

Answer 1

由题意，椭圆上右准线上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|=a+c，如图，
又|FH|=

a2 c -c |PF|＞|FH|， 于是a+c＞ a2 c -c即ac+2c2＞a2， ∴2e2+e-1＞0，e＞ 1 2 ，又e∈（0，1） 故e∈（ 1 2 ，1） 故答案为：（ 1 2 ，1）．