Question

设A，F分别是椭圆的左顶点与右焦点，若在其右准线上存在点P，使得线段PA的垂直平分线恰好经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意，椭圆上右准线上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，根据|PF|的范围求得|FA|的范围，进而求得 的范围即离心率e的范围．
解答：解：由题意，椭圆上右准线上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|=a+c，如图，
又|FH|=
|PF|＞|FH|，
于是a+c＞即ac+2c²＞a²，
∴2e²+e-1＞0，e＞，又e∈（0，1）
故e∈（，1）
故答案为：（，1）．
点评：本题考查线段的中点公式，两直线垂直的性质，以及椭圆的简单性质的应用．属于基础题．