Question

设A，F分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左顶点与右焦点，若在其右准线上存在点P，使得线段PA的垂直平分线恰好经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题意，椭圆上右准线上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，根据|PF|的范围求得|FA|的范围，进而求得

c

a

的范围即离心率e的范围．

解答：解：由题意，椭圆上右准线上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|=a+c，如图，
又|FH|=

a2

c

-c
|PF|≥|FH|，
于是a+c≥

a2

c

-c即ac+2c^2≥a²，
∴2e²+e-1≥0，e≥

1

2

，又e∈（0，1）
故e∈[

1

2

，1）
故答案为：[

1

2

，1）．

点评：本题考查线段的中点公式，两直线垂直的性质，以及椭圆的简单性质的应用．属于基础题．