Question

如图所示，PA为圆的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5，的平分线与BC和圆分别交于点D和E。

（1）求证：；
（2）求AD·AE的值。

Answer 1

（ 1）直接根据∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，进而求出结论；
（2）90

试题分析：（ I）直接根据∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，进而求出结论；

（ II）先根据切割线定理得到PA2=PB•PC；结合第一问的结论以及勾股定理求出；再结合条件得到△ACE∽△ADB，进而求出结果．

解：（ I）∵PA为⊙O的切线， ∴∠PAB=∠ACP，…（1分） 又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分） ∴．…（3分） （ II）∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线， ∴PA2=PB•PC．…（5分） 又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分） 由（ I）知，， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB=90°． ∴AC2+AB2=BC2=225， ∴ …（7分） 连接CE，则∠ABC=∠E，…（8分） 又∠CAE=∠EAB， ∴△ACE∽△ADB， ∴ …（9分） ∴．…（10分）

 
点评：本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用．解决本题第一问的关键在于先由切线PA得到∠PAB=∠ACP．